Tens 0 productes a la teua cistella
La densitat de Nombres Primers en el context dels Naturals decreix segons aquesta relació. Anomenem an el nombre de Primers en el Tram de Naturals entre 10n-1 i 10n. Ln an+1 – Ln an = ∫n, on ∫n és la variació de Nombres Primers entre els tram considerats (10n-1 i 10n). La Variació del següent Tram, ∫n+1 respecte de l’anterior manté aquesta relació: ∫n+1 – ∫n = -0,05, quan n→∞. A més a més, de la relació Ln an+1 / Ln an = ∫∫n, afirmem que ∫∫n+1 – ∫∫n = -0,01. I finalment, ∫n + ∫∫n = 2.
La Física del Primers (XI)
Resultats III
(Conclusions I)
∆, Delta, mesura la diferencia entre trams de Potències de 10, del nombre de Naturals que hi ha per cada Àvalon en aqueix tram. ∆, per tant, és, en cada tram, Ln 10·X-Ln Y, on X és el nombre d’àvalons del tram immediatament anterior al d’Y, nombre d’àvalons, per tant, del tram on estem. Per exemple, ∆ (1,8994)=Ln 10·145 – Ln 217 (1,8995). De l’equació eLn 10·x – ∆ = y
0_106 70 a1 1cada14285,71 (LN) 9,5670
106_107 100 a2 1cada90000 (LN) 11,4075 ∆1,8405
107_108 145 a3 1cada620689,65 (LN) 13,3385 ∆1,931
108_109 217 a4 1cada4147465,43 (LN) 15,2380 ∆1,8995
109_1010 328 a5 1cada27439024,39 (LN) 17,1274 ∆1,8894
1010_1011 563 a6 1cada159857904,08 (LN) 18,8897 ∆1,7623
1011_1012 873* 1cada1030927835,05 (LN) 20,7537 ∆1,864
1012_1013 1351*
Pel que fa a la densitat per volums de cada potència de 10, ∂, delta minúscula, esbrina quina densitat per trams de potències de 10 hi ha d’Àvalons, i ens mostra com aquesta densitat va disminuint segons avancem en N, però no ho fa ‘progressivament’, de manera que en determinats trams, sembla augmentar ‘relativament’
∂1 = a1/106; ∂2 = a2/9·106; ∂3 = a3/9·107; ∂4 = a4/9·108; ∂5 = a5/9·109; ∂6 = a6/9·1010 (…)
La densitat dels primers ja fou avaluada per Gauss en aproximadament 1 / ln x, per a un determinat #{primers ≤ x} ≈ ∑n=2 [x] 1 / ln n ≈ ∫2x dt / ln t = Li (x) (Suma de la Inversa de la funció de Gauss: 1 / ln x), amb un error aproximat de 0≺ Li (x) – ᴫ (x) (#{primers ≤ x}) ≺ √ᴫ(x), que Littlewood, 1914, va reinterpretar afirmant que existeien valors de x arbitràriament grans per als quals ᴫ(x) ≻ Li (x), això és, #{primers ≤ x} ≻ 1/lnx, o també, #{primers ≤ x} ≻ ∫2x dt / ln t.
Per a un càlcul més precís, rescatem el que Riemann deia, mcm [1, 2, 3, . . . , x] ≈ ex quan x→∞. En el nostre cas, aquesta equació es pot reescriure de la següent manera, quan x tendeix a infinit, e ln 10 x – ∆, validant, ln x – ∆ = la x de la equació anterior, que aquí nomenarem y. Vist que si x→∞, també ln x – ∆ tendeix a infinit. Per tant, mcm [1, 2, 3, . . . x] ≈ ∑x=1n e ln 10 x – ∆. Si seguim amb el raonament,
(Π p≤x p) * (Π p2≤x) * (Π p3≤x) * . . . = mcm [1, 2, 3, . . . , x] ≈ ∑x=1n e ln 10 x – ∆, aplicant Ln a totes les bandes,
(∑p≤x lnp) + (∑p2≤x lnp) + (∑p3≤x lnp) + … ≈ ln (mcm [1, 2, 3, …x]) (ex) = x , quan x tendeix a infinit, (= ∑x=1n ln 10 xn – ∆, considerant x1, x2, x3…xn, quan n tendeix a infinit, els valors del nombre d’àvalons per trams de potències de 10), i aplicant a totes les bandes la suma per parts,
ᴫ (x) + 1/2 ᴫ (x1/2) + 1/3 ᴫ (x 1/3) + … ≈ ∫2x dt / ln t = Li (x), la qual cosa implica que ᴫ (x) = Li (x) – 1/2 Li (x 1/2 ) + 1/3 Li (x 1/3) – …, per tant la predicció de Riemann, més ajustada que la de Gauss, prediu una desviació Li (x) – ½ Li (√x) – ᴫ (x), mestrestant la de Gauss era Li (x) – ᴫ (x).
Com, a més a més per a nosaltres, tots els àvalons es poden quantificar, com més avall es veurà, segons aquesta Suma
(a1 1/n + Ka1 1/n)n = ∑n k=0 (n k) a1 n-k/n Kk a1 k/n = (n0) a1 + (n1) a1 n-1/n K a1 1/n + (n2) a1 n-2/n K2 a1 2/n + (n3) a1 n-3/n K3 a1 3/n + (…) (nn) Kn a1,
per a a1 = 70, amb una oscil·lació de k entre 0 i 0,15, en el límit per a un N→∞, tots els àvalons de n generacions, i col·laterals, sumaran igual que tots els Primers previstos en les consideracions de Gauss i Riemann, si Déu vol i Quico.
Pel que fa al percentatge que li hem de sumar a la quantitat immediatament anterior, ζ, zeta minúscula, calcula quin percentatge li hem d’afegir al nombre d’Àvalons d’un tram determinat per passar al següent tram,
a1; a2 = a1 + ζa1; a3 = a2 + ζa2; a4 = a3 + ζa3; a5 = a4 + ζa4; a6 = a5 + ζa5 (…) ≈ ∑∞n=1 an + ζ an
I finalment k, kappa minúscula, avalua el desenvolupament d’aquests polinomis
A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + A7 + A8 + A9 + A10 + A11 + …
a1 + a2(a1+ka1) + a3(a2+ka2) + a4(a3+ka3) + a5(a4+ka4) + a6(a5+ka5) + a7(a6+ka6) + a8(a7+ka7) + a9(a8+ka8) + a10(a9+ka9) + a11(a10+ka10) + …
a1 + (a1+ka1) + (a2+ka2)* + (a3+ka3)** + (a4+ka4)*** + (a5+ka5) + (a6+ka6) + (a7+ka7) + (a8+ka8) + (a9+ka9) + (a10+ka10) + …
a1 + (a1+ka1) + [a1+ka1+k(a1+ka1)]* + [a2+ka2+k(a2+ka2)]** + [a3+ka3+k(a3+ka3)]*** +
[(a1) + (a1+ka1) + [a1+2ka1+k2a1]* + [a2+2ka2+k2a2]** + [a3+2ka3+k2a3)]*** + [a4+2ka4+k2a4]**** + [a5+2ka5+k2a5]*****
[a2+2ka2+k2a2]**= [a1+ka1+2k(a1+ka1)+k2(a1+ka1)]**=[a1+ka1+2ka1+2k2a1+k2a1+k3a1]**=[a1+3ka1+3k2a1+k3a1]**
[a3+2ka3+k2a3)]***=[a2+ka2+2k(a2+ka2)+k2(a2+ka2)]***=[a2+ka2+2ka2+2k2a2+k2a2+k3a2]***=[a2+3ka2+3k2a2+k3a2]***=[a1+ka1+3k(a1+ka1)+3k2(a1+ka1)+k3(a1+ka1)]***=[a1+ka1+3ka1+3k2a1+3k2a1+3k3a1+k3a1+k4a1]***=[a1+4ka1+6k2a1+4k3a1+k4a1]***=[+a1+ka1+k(a1+ka1)+2k((a1+ka1)+k(a1+ka1))+k2((a1+ka1)+k(a1+ka1))]***=[a1+ka1+ka1+k2a1+2ka1+2k2a1+2k2a1+2k3a1+k2a1+k3a1+k3a1+k4a1]***=[a1+4ka1+6k2a1+4k3a1+k4a1]***
[a4+2ka4+k2a4]****=a3+ka3+2k(a3+ka3)+k2(a3+ka3)=[a3+2ka3+k2a3]***+[ka3+2k2a3+k3a3]=[ a1+4ka1+6k2a1+4k3a1+k4a1]*** + [ka1+ 4k2a1+6k3a1+4k4a1+k5a1]=[a1+5ka1+10k2a1+10k3a1+5k4a1+k5a1]****
[a5+2ka5+k2a5]***** = [a1+6ka1+15k2a1+20k3a1+15k4a1+6k5a1+k6a1] =
Que reixen segons aquesta matriu, en escala, 1+2=3, dos números consecutius de la mateix fila sumen el número immediat inferior, això és seguint el patró de l’Escala de Pascal o de Tartaglia
