Confinament 64

Si el nombre de Primers és infinit, com ja se sap des d’Euclides (lím_x→∞ ᴫ( x ) = ∞), i la suma dels Inversos divergeix, la qual cosa vol dir que són suficientment densos, després de demostrar (Euler) que ζ(s) tendeix a ∞ quan s ↓ 1, això és que la sèrie harmònica real ∑_n=1 ^∞ 1/n^s (únicament convergeix per a s > 1), nosaltres afirmem que si P_n és el nombre de Primers entre dues potències de 10 (tram corresponent), P_n+1, corresponent al següent tram, s’igualen quan x→1, cosa que ocorre en algun moment. Això vol dir que P_n ^x = P_n+1, són iguals quan n→∞. I x = LnP_n+1/LnP_n.

 

XII

Resultats IV

Conclusions II

 

Les quatre formes de comptar els Àvalons ens porten a la conclusió següent:

a_n = na₁ + (n-1)ka₁ + A(n-2)k²a₁ + B(n-3)k³a₁ + C(n-4)k⁴a₁ + D(n-5)k⁵a₁ +…

on A, B, C, D (…) són els números de l’escala, relacionats amb el Binomi de Newton (més avall)

1

1          1

1          2          1

1          3          3          1

1          4          6          4          1

1          5          10        10        5          1

(…) etcètera del triangle de Tartaglia, equivalent a

a_n = a_(n-1) + ζa_(n-1), equivalent a

a_n = ∂_n·9·10⁽ⁿ⁺⁴⁾, equivalent, finalment a

a_n = e^{ln 10· a(n-1) – ∆}

que en tots els casos, per a determinats valors de k, ζ, ∂ i ∆, coincideixen. k(0,565); ζ(62%); ∂ ‘in crescendo’ de manera que els dos valors sumats dels trams anteriors indiquen el valor del següent, amb una variació que coincideix amb les sumes respectives; i ∆(1,82).

El nombre d’àvalons fins N1000000000000 és de 2240, en una proporció pel que fa al acabaments dels números com segueix,

Acabats en 8 4 (0,1785%); acabats en 0 1949 (87,009%); acabats en 2 287 (12,8125%).

El nombre de primers que acompanyen a aquests números Àvalon és, òbviament el doble. Tenim, per tant, fins N1000000000000, 4480 nombres primers,

Fins 100000000000, 4 números àvalon acaben en 8 escortats per bessons primers acabats en 9 i 7.

1141 acaben en 0. Escortats per bessons primers acabats en 9 i 1.

287 acaben en 2. Escortats per bessons primers acabats en 1 i 3.

Fins aquí (N100000000000) tenim 4+1141 (1144) primers acabats en 9. 39,9441%

1141+287 (1428) primers acabats en 1. 49,8603%

4 primers acabats en 7. 0,1396%

287 primers acabats en 3. 10,0209%

Tenint en compte les carreres de nombres primers¹, se saps que per a qualsevol a i b tals que mcd(q, a) = mcd(q, b) = 1,

#{primers qn + a ≤ x} / #{primers qn + b ≤ x} → 1 quan x → ∞. I que els caps de la cursa s’alternen segons avancem en N.

I també que els acabats en 3 i 7 comparteixen lideratge respecte dels acabats en 1 i 9, a poca distància, val a dir.

Els Àvalons de primera generació, n = 10⁰ d₀ + 10¹ d₁ + 10² d₂ + 10³ d₃ + ··+ 10^k d_k = ∑_l=0^k a_l·10^l, si ∑_l=0^k a_l·10^l = 9, mostren una predilecció, però, pels primers acabats en 1 i 9, amb molta diferència respecte dels acabats en 3 i 7. Hem de concloure, per tant, que els de segona (∑_l=0^k a_l·10^l / 9 = 1), tercera (∑_l=0^k a_l·10^l /9 = 2), i successives generacions, ∑_l=0^k a_l·10^l 9= n, han de compensar els dèficits.

1. Andrew Granville i Greg Martin, Carreras de números primos, La Gacate de la RSME, VOL. 8. 1 (2005), PÀGS. 197-240

Si observàvem els percentatges d’Àvalons entre Potències de 10, i dins d’aquestes els fragments que comencen per 1, 2, 3, etcètera, es veu açò:

10¹⁰_10¹¹, 10000000000_100000000000, 563 àvalons

10000000000_20000000000, 300 àvalons, 53,2859%

20000000000_30000000000, 144 àvalons, 25,5772%

30000000000_40000000000, 72 àvalons, 12,7886%

40000000000_50000000000, 26 àvalons, 4,6181%

50000000000_60000000000, 17 àvalons, 3,0195%

60000000000_70000000000, 3 àvalons, 0,5328%

70000000000_80000000000, 1 àvalon, 0,1776%

10⁹_10¹⁰, 1000000000_10000000000, 328 àvalons

1000000000_2000000000, 159 àvalons, 48,4756%

2000000000_3000000000, 100 àvalons, 30,4878%

3000000000_4000000000, 40 àvalons, 12,1951%

4000000000_5000000000, 21 àvalons, 6,4024%

5000000000_6000000000, 5 àvalons, 1,5243%

6000000000_7000000000, 3 àvalons, 0,9146%

10⁸_10⁹, 100000000_1000000000, 217 àvalons

100000000_200000000, 113 àvalons, 52,0737%

200000000_300000000, 54 àvalons, 24,8847%

300000000_400000000, 26 àvalons, 11,9815%

400000000_500000000, 13 àvalons, 5,9907%

500000000_600000000, 6 àvalons, 2,7649%

600000000_700000000, 2 àvalons, 0,9216%

700000000_800000000, 3 àvalons, 1,3824%

[Fora de les mitjanes, de moment*, però per ampliar-les, si convé

10⁷_10⁸, 10000000_100000000, 145 àvalons

72 en 1, 49,6551%; 39 en 2, 26,8965%; 13 en 3, 8,9655%; 10 en 4, 6,8965%; 7 en 5, 4,8275%; 4 en 6, 2,7586%.

10⁶_10⁷, 1000000_10000000, 100 àvalons

38 en 1, 38%; 24 en 2, 24%; 18 en 3, 18%; 8 en 4, 8%; 7 en 5, 7%; 3 en 6, 3%; 1 en 7, 1%; 1 en 8, 1%.]