La Hipòtesi Àvalon_Final

Coneguts els cardinals de Nombres Primers (https://en.wikipedia.org/wiki/Prime-counting_function) fins la Potència n (n pertany al conjunt N) podem calcular (aproximadament) el cardinal de la Potència n+1 mitjançant la següent equació.

#{p≤x=10 n+1 } ≈ #{p≤x=10 n } 2n/n+1 *#{p≤x=10 n-1 } 1-n/n+1 *e [(#{p≤x=10n}-#{p≤x=10n-1})/(2n*#{p≤x=10n-1})] *1,00527719474922097447944

Que equival a

C n+1 = C n 2n/n+1 C n-1 1-n/n+1 e Cn-Cn-1/2nCn-1 * 1,00527719474922097447944

C n = #{p≤x=10 n }

Pot comprovar-se que l’Error entre les potències 2 i 29, que són els valors dels cardinals de primers coneguts, oscil·la entre (per a n=2) 2,3814801707% i (per a n=29) 0,1929775508%, amb una mitjana d’Error en % de -0,903330335%.

MICRO Quadre Deducció Equacions

Coneguts els cardinals de Nombres Primers #{p=x≤10 n } 1 , 1≤n≤29, n∈N; per esquematitzar, aquí #{p=x≤10 n } = C n . Definits P n-5 = C n – C n-1 , per tant, P 1 = 68905. Definits k n =
(P n+1 1/n P 1 -1/n ) -1, per tant, P n+1 = (P 1 1/n + P 1 1/n k n ) n . P n+1 = (P 1 1/n + P 1 1/n k n ) n = ∑ k=0 n ( k n ) (P 1 1/n ) n-k (P 1 1/n k n ) k

P 1 = P 1 ; P 2 = P 1 +P 1 k 1 ; P 3 = P 1 +2P 1 k 2 +P 1 k 2 2 ; P 4 = P 1 +3P 1 k 3 +3P 1 k 3 2 +P 1 k 3 3 ; P 5 = P 1 +4P 1 k 4 +6P 1 k 4 2 +4P 1 k 4 3 +P 1 k 4 4 (…) →

Transformem cada sumand de P n+1 = (P 1 1/n +P 1 1/n k n ) n → en P n+1 ns+1 = 10 n / (n+1) [(P 1 1/n +P 1 1/n k n ) n ], on n s+1 sobre P n+1 indica el número de sumand de cada n

P 1 s1 = P 1 1s = 1/P 1 ; P 2 s2 = P 2 1s +P 2 2s = (10/2)/P 1 +(10/2)/k 1 P 1 ; P 3 s3 = P 3 1s +P 3 2s +P 3 3s = (100/3)/P 1 +(100/3)/2k 2 P 1 +(100/3)/k 2 2 P 1 ; P 4 s4 = P 4 1s +P 4 2s +P 4 3s +P 4 4s = (1000/4)/P 1 +(1000/4)/3k 3 P 1 +(1000/4)/3k 3 2 P 1 +(1000/4)/k 3 3 P 1 (…)

L’expressió general per a qualsevol sumand de la qual seria

P n ns = 10 n-1 n -1 [( ns-1 n-1 )(k n-1 ns-1 )(P 1 )] -1 ; ( ns-1 n-1 ) = (n-1)! / (n s -1)!((n-1)-(n s -1))!

Aquesta equació té dues propietats per als darrers sumands de cada P n ns : vist que ∀n, n∈N,

( ns-1 n-1 ) = ( ns n ) = ( ns+1 n+1 ) = 1

i [(P n+2 ns+2 /P n+1 ns+1 )/(P n+1 ns+1 /P n ns )] 1/n+1 →1, aleshores (P n+2 ns+2 /P n+1 ns+1 ) = (P n+1 ns+1 /P n ns )
10 n+1 (n+2) -1 (k n+1 n+1 ) -1 / 10 n (n+1) -1 (k n n)-1 = 10 n (n+1) -1 (k n n ) -1 / 10 n-1 (n) -1 (k n-1 n-1)

k n+1 = k n 2n/n+1 k n-1 1-n/n+1 [(n+1) 2 /(n 2 +2n)] 1/n+1
∑ n=1 n=∞ [(n+1) 2 / (n 2 +2n)] = ∑ n=2 n=∞ (n 2 /n 2 -1)
k n+1 = k n 2n/n+1 k n-1 1-n/n+1 [(n 2 /n 2 -1)] 1/n+1
pràcticament idèntica a les equacions compatibles

k n 2n/n+1 k n-1 1-n/n+1 (lnk n /lnk n-1 ) 1/n+1 ≈ k n 2n/n+1 k n-1 1-n/n+1 e kn-kn-1/(n+2)kn-1 ≈ k n 2n/n+1 k n-1 1-n/n+1 (k n /k n-1 ) 1/n+2 , sobretot les dues últimes entre sí.

Unes progressions pràcticament idèntiques (k n /k n-1 ) 1/n+2 , segons consta a l’excel “Jocs amb el darrer sumand”, entre, 1,027 i 1,0000594279. Idèntica, igualment a [n 2 / (n 2 – 1)] 1/n+1 , entre 1,1 i 1,0000615896. Idèntica així mateix a e kn-kn-1/(n+2)kn-1 , entre 1,028 i 1,0000594756.

1.- https://en.wikipedia.org/wiki/Prime-counting_function