La Hipòtesi Àvalon (a)

El cardinal de ‘nombres primers’ per Trams de Potències de 10, considerant el 1r Tram entre 0 i 10⁶, per a nosaltres P₁, que ve indicat per aquesta expressió, (#{primers 10ⁿ ≤ x ≤ 10ⁿ⁺¹}) és, fins 10²², això és fins a P₁₇, Tram 17, entre 10²¹ i 10²², la sèrie següent: (10_10⁶) 68905 P₁, (10⁶_10⁷) 548039 P₂, (10⁷_10⁸) 5141034 P₃, (10⁸_10⁹) 45086079 P₄, (10⁹_10¹⁰) 404204977 P₅, (10¹⁰_10¹¹) 3663002302 P₆, (10¹¹_10¹²) 33489857205 P₇, (10¹²_10¹³) 308457624821 P₈, (10¹³_10¹⁴) 2858876213963 P₉, (10¹⁴_10¹⁵) 26639628671867 P₁₀, (10¹⁵_10¹⁶) 249393770611256 P₁₁, (10¹⁶_10¹⁷) 2344318816620308 P₁₂, (10¹⁷_10¹⁸) 22116397130086627 P₁₃, (10¹⁸_10¹⁹) 209317712988603747 P₁₄, (10¹⁹_10²⁰) 1986761935284574233 P₁₅, (10²⁰_10²¹) 18906449883457813088 P₁₆, (10²¹_10²²) 180340017203297174362 P₁₇. Aquests cardinals estan extrets de restar el cardinal de Primers de fins a 10²² – cardinal de Primers de fins a 10²¹, [#{primers ≤ x (10²²)}] – [#{primers ≤ x (10²¹)}], que són els cardinals coneguts de Primers, segons l’article “Carreras de Números Primos” dels professors Andrew Granville i Greg Martin, La Gaceta de la Real Sociedad Matemática Española, Vol 8, nº 1 (2005), Pàgs, 197-240.

 

Aquestes quantitats (P₁, P₂, … P₁₇) es poden obtenir, també, segons aquesta relació P_n+1 = P_n^xn, on x_n = L_nP_n+1/L_nP_n. I, P_n^xn = P_n+1, quan n→∞, x→1, per tant, en algun moment els cardinals de dos Trams successius s’igualaran: P_n = P_{n+1 [}#{primers 10^n-1 ≤ x ≤ 10ⁿ} = #{primers 10ⁿ ≤ x ≤ 10ⁿ⁺¹}]. I (Ln P_n+1 – Ln P_n)→0, quan n→∞. I [(Ln P_n+1 – Ln P_n) + (Ln P_n+1 / Ln P_n)]→1, quan n→∞. (veure doc. “Relacions Nombres Primers”). A aquesta darrera expressió l’hem anomenada A. De les definicions posteriors es dedueix que, x_n = ᴫ^1/αn – e ^βn.

 

A i Alfa. Beta.

A_n = (Ln P_n+1 – Ln P_n) + (Ln P_n+1 / Ln P_n). Per tant A_n i x_n són variables ‘relacionades’ i conegudes, si més no amb absoluta certesa, fins als valors A₁₆ i x₁₆, perquè coneixem els valors de P₁₇ i P₁₆, i anteriors fins P₁. P_{n+1 = e}^{LnPn (An  + LnPn) / LnPn + 1}.

Hem definit β_n = Ln [(Ln P_n+1 – Ln P_n)], també coneguda amb exactitud fins el valor β₁₆. Per tant, e ^βn = Ln P_n+1 – Ln P_n. I A_n = e ^βn + x_n. P_n+1 = e^{e^(βn) + LnPn}. Ja avancem que de l’excel “Relació Primers per Potències” un valor coherent per a β₁₇ seria 0,8142694928, amb el qual obtindríem un P₁₈ quasi idèntic que el resultant amb A₁₇ i α₁₇ del mateix document, 1723944028047688854980. A_n = e ^βn + x_n. e = (A_n – x_n)^1/βn. ∑_n=1^∞ (A_n – x_n)^1/βn = ∑_n=1^∞ ne. ∑_n=1^∞ (A_n – x_n)^1/βn / e = ∑_n=1^∞ n. 1+2+3+…+n = (A₁-x₁)^{1/ β1}/e+(A₂-x₂)^{1/ β2}/e+(A₃-x₃)^{1/ β3}/e+…+(A_n–x_n)^1/βn/e =

[2,7182818279427282141766682675721₁¹+2,7182818275685750633013570854197₂²+2,7182818289636627907833603596923₃³+2,7182818288301780791977887500293₄⁴+…+(A_n–x_n)^1/βn/e = ∑_n=1^∞ = 1+2+3..+n.]

La qual cosa implica, com segueix, que: ∑_n=1^∞ (A_n – x_n)^1/βn / e = ∑_n=1^∞ A_n^αn / ᴫ.

(A_n – x_n)^1/βn / e = A_n^αn / ᴫ. (A_n – x_n)^1/βn / A_n^αn = e / ᴫ. Efectivament. A més a més s’ha de tenir en compte aquesta correspondència, que relaciona A i β amb e:

(A_n – 1) ^1/βn (1 + P_n^-1) ^-1/βn = e.

 

Hem definit α_n = Lnᴫ/LnA_n. Igualment precisa fins al Tram 17, segons els hem acotat. Amb aquesta variable hem fet constant, per a qualsevol n, l’equivalència A_n^αn = ᴫ. ∑_n=1^∞ nᴫ = ∑_n=1^∞ A_n^αn. ᴫ ∑_n=1^∞ n = ∑_n=1^∞ A_n^αn. ∑_n=1^∞ n = ∑_n=1^∞ A_n^αn / ᴫ.

1+2+3+4+ … + n = A₁^α1/ᴫ + A₂^α2/ᴫ + A₃^α3/ᴫ + A₄^α4/ᴫ + … + A_n^αn/ᴫ =

[0,99999999998061897582674544880968₁¹+ 0,99999999998856368314578119518097₂²+1,0000000000556385944392335060492₃³+0,99999999993914303157690805668063₄⁴+ … + A_n^αn/ᴫ = ∑_n=1^∞ = 1+2+3..+n.]

De l’excel “Relació Alfa i A” es dedueixen dos valors per a A₁₇ i α₁₇ molt precisos en correspondència amb els valors anteriors i entre si, 3,3058729561 i 0,9573716984, respectivament, pràcticament coincidents amb els resultats de l’excel “Relació Primers per Potències” (A17 3,3059277179** i α17 0,9573584355). Del primer document esmentat aquí, també es dedueix un Valor de Recurrència, que anomenarem VR, que per a les variables esmentades, A₁₇ i α₁₇ valdria VR₁₄ (ateses les desviacions de posició) 0,0000285082, de manera que d’aquestes dues equacions, VR₁₄ = [(A₁₇ – A₁₆) + (α₁₇ – α₁₆)] – [(A₁₆ – A₁₅) + (α₁₆– α₁₅)] i A₁₇ ^α17 = ᴫ (en negreta les incògnites, A₁₇ i α₁₇), se’n podrien extraure els valors d’A₁₇ i α₁₇, que, però, amb els atorgats als documents suara esmentats es compleix l’equació A₁₇ ^α17 = 3,1415926537 (ᴫ = 3,1415926536).