La Hipòtesi Àvalon. Annex I (a)

A la recerca d’una Progressió

Aritmètica P_n = P₁ + (n-1) d                        Geomètrica P_n = P₁ r ^(n-1)

[d = P_n+1 – P_n] [r = P_n+1 / P_n]

       A_n = Ln (P_n+1 / P_n) + Ln P_n+1 / Ln P_n.

       A_n = A₁ + 0,003104446; A_n = A₁ 1,001047134 (Segons Excel*, amb les mitjanes de d i r, aquestes serien les Progressions), respectivament (que resulten els valors més aproiximats als REALS, al capdavall):

3,2506258001, 3,4233987339, 3,3149370697, 3,3209048120, 3,3184417993, 3,3165545948, 3,3150653153, 3,3138698835, 3,3128950703, 3,3120891192, 3,3114147112, 3,3108443813, 3,3103575144, 3,3099383865, 3,3095748327, 3,3092573205, 3,3108714023, 3,3217503238, 3,3092519722 …

3,250921946, 3,423875796, 3,315300558, 3,321274549, 3,318808957, 3,316919777, 3,315428938, 3,314232254, 3,31325642, 3,312449625, 3,311774511, 3,311203584, 3,310716207, 3,31029664, 3,309932706, 3,309614861, 3,311230633, 3,322120946, 3,309609507 …

I amb les equacions de les progressions, respectivament, A_n = A₁ + 0,003104446 (n-1) i A_n = A₁ 1,001047134^(n-1), serien (i s’obtenen uns valors també molt vàlids, sobretot en els trams ‘finals’, i encara deduïts):

3,247521354, 3,2506258, 3,253730246, 3,256834692, 3,259939137, 3,263043583, 3,266148029, 3,269252475, 3,27235692, 3,275461366, 3,278565812, 3,281670258, 3,284774703, 3,287879149, 3,290983595, 3,294088041, 3,297192486, 3,300296932, 3,303401378, 3,306505824 …

3,247521354, 3,250921946, 3,254326098, 3,257733815, 3,2611451, 3,264559958, 3,267978391, 3,271400404, 3,274826, 3,278255183, 3,281687957, 3,285124325, 3,288564292, 3,292007861, 3,295455036, 3,29890582, 3,302360218, 3,305818234, 3,30927987, 3,312745131 …

I, si enlloc d’usar un valor ‘extrem’ per a A₁, que no deixa de ser un valor poc pròxim a les mitjanes, s’usa un valor més pròxim, com ara A₂, o A₃, o fins i tot la mtjana ‘ajustada (D3 de l’excel*) d’A (3,3100972) els resultats són molt més òptims. Per exemple, amb la Mitjana, això és A₁ = 3,3100972, els valors d’A, serien per a les successions aritmètica i geomètrica, respectivament, A_n = 3,3100972 + 0,003104446 (n-1) i A_n = 3,3100972* 1,001047134^(n-1), però tot i així (‘excel*) surten uns valors allunyats dels reals d’A.

              REALS: 3,2475213543, 3,4202942881, 3,3118326240, 3,3178003662, 3,3153373535, 3,3134501491, 3,3119608696, 3,3107654377, 3,3097906245, 3,3089846734, 3,3083102655, 3,3077399355, 3,3072530686, 3,3068339407, 3,3064703870, 3,3061528747, 3,3077669566, 3,3186458780, 3,3061475264, 3,3065058237 …

d = A_n+1 – A_n

0,1727729338, -0,1084616642, 0,0059677423, -0,0024630127, -0,0018872045, -0,0014892795, -0,0011954318, -0,0009748132, -0,0008059511, -0,0006744079, -0,0005703299, -0,0004868669, -0,0004191279, -0,0003635538, -0,0003175123, 0,0016140819, 0,0108789215, -0,0124983516, 0,0003582973 …

r = A_n+1 / A_n

(r₁) 1,053201477, (r₂) 0,968288792, (r₃) 1,001801946, (r₄) 0,999257637, (r₅) 0,999430765, (r₆) 0,999550535, (r₇) 0,999639056, (r₈) 0,999705563, (r₉) 0,999756495, (r₁₀) 0,999796189, (r₁₁) 0,999827607, (r₁₂) 0,99985281, (r₁₃) 0,99987327, (r₁₄) 0,99989006, (r₁₅) 0,999903972, (r₁₆) 1,000488205, (r₁₇) 1,003288902, (r₁₈) 0,9962339, (r₁₉) 1,000108373

 

α_n = Ln ᴫ / Ln A_n

α_n ≈ α₁ r^(n-1), r→1, n→∞, α_n → α₁, 0,955853 mitjana→0,95

0,9718461811, 0,9308816196, 0,9559317426, 0,9544967521, 0,9550881674, 0,9555421144, 0,9559008323, 0,9561890838, 0,9564243440, 0,9566189909, 0,9567819660, 0,9569198592, 0,9570376232, 0,9571390395, 0,9572270363, 0,9573039101, 0,9569133247, 0,9542939989, 0,9573052052, 0,9572184578 …

Amb els valors α_n = α₁ + -0,00076988 i α_n = α₁ * 0,999269179, mitjanes de d i r, respectivament, els resultats, com passava amb A, són realment bons, com segueix

0,9710763009, 0,9301117394, 0,9551618624, 0,9537268720, 0,9543182873, 0,9547722343, 0,9551309522, 0,9554192037, 0,9556544638, 0,9558491108, 0,9560120858, 0,9561499790, 0,9562677430, 0,9563691593, 0,9564571561, 0,9565340300, 0,9561434445, 0,9535241188, 0,9565353250 …

0,9711359358, 0,9302013120, 0,9552331278, 0,9537991861, 0,9543901692, 0,9548437844, 0,9552022402, 0,9554902810, 0,9557253692, 0,9559198739, 0,9598010228, 0,9562205223, 0,9563382002, 0,9564395424, 0,9565274749, 0,9566042926, 0,9562139926, 0,9535965811, 0,9566055867 …

α_n+1 – α_n

-0,0409645615, 0,0250501230, -0,0014349904, 0,0005914153, 0,0004539470, 0,0003587179, 0,0002882515, 0,0002352601, 0,0001946470, 0,0001629751, 0,0001378932, 0,0001177640, 0,0001014163, 0,0000879968, 0,0000768738, -0,0003905854, -0,0026193257, 0,0030112062, -0,0000867473 …

α_n+1 / α_n

0,957848719, 1,026910106, 0,998498857, 1,00061961, 1,000475293, 1,000375408, 1,00030155, 1,000246039, 1,000203515, 1,000170366, 1,000144122, 1,000123066, 1,000105969, 1,000091937, 1,000080309, 0,999591994, 0,997262735, 1,003155428, 0,999909384 …

(Important!) Amb el valor d’A [A_n = A₁ + 0,003104446] i α [α_n = α₁ + -0,00076988] els valors de ᴫ [ᴫ = e^αn*LnA] són increïblement pròxims al real

3,141658673, 3,141269385, 3,141507823, 3,141494198, 3,141499814, 3,141504124, 3,14150753, 3,141510266, 3,141512499, 3,141514347, 3,141515894, 3,141517203, 3,141518321, 3,141519283, 3,141520118, 3,141520848, 3,141517141, 3,141492273, 3,14152086 …

Com seria e? (e = ᴫ^1/αn*LnA)

2,718231928, 2,718526219, 2,718345951, 2,71835625, 2,718352005, 2,718348747, 2,718346172, 2,718344104, 2,718342416, 2,718341019, 2,71833985, 2,71833886, 2,718338015, 2,718337288, 2,718336656, 2,718336105, 2,718338907, 2,718357706, 2,718336096 … bastant bé.