La Hipòtesi Àvalon. Annex II (b)

Piràmide Progressió Primers. Valors coneguts fins 10²⁹. En Negreta, les Projeccions

I Alguns Valors de Recurrència

 

10^5	9593
10^6_P1	78498
10^7_P2	620421
10^8_P3	5761455
10^9_P4	50847534
10^10_P5	455052511
10^11_P6	4118054813
10^12_P7	37607912018
10^13_P8	346065536839
10^14_P9	3204941750802
10^15_P10	29844570422669
10^16_P11	279238341033925
10^17_P12	2623557157654233
10^18_P13	24739954287740860
10^19_P14	234057667276344607
10^20_P15	2220819602560918840
10^21_P16	21127269486018731928
10^22_P17	201467286689315906290
10^23_P18	1925411316793787046023
10^24_P19	18439625970258019627881
10^25_P20	176956692986255733128843
10^26_P21	1701639237999528961835460
10^27_P22	16397327254904443190090006
10^28_P23	158351024067353000000000000
10^29_P24	1532721851589260000000000000
10^30_P25	14871876314900700000000000000
10^31_P26	144678458781448000000000000000
10^32_P27	1411437068490050000000000000000
10^33_P28	13811100235776300000000000000000
10^34_P29	135580461669641000000000000000000
10^35_P30	1335555751153440000000000000000000
10^36_P31	13204311295384100000000000000000000
10^37_P32	131053150415644000000000000000000000
10^38_P33	1305991799801740000000000000000000000
10^39_P34	13069827989749000000000000000000000000
10^40_P35	131371307029214000000000000000000000000
10^41_P36	1326430790038450000000000000000000000000
10^42_P37	13454662877708600000000000000000000000000

 

P_n+1 = P_n^x

k_n = (P_n^x/n P₁^-1/n) -1              ζ_n = P_n^x-1 -1                         ∆_n = Ln10P_n^1-x      δ_n = P_n / 9*10ⁿ⁺⁴               σ_n = 9*10ⁿ⁺⁵ / P_n^x

x = L_PnP_n+1            x = LnP_n+1/LnP_n     x = ᴫ^{1/ αn} – e^βn

α_n = Lnᴫ / LnA; A = LnP_n+1/P_n + x

β_n = Ln (LnP_n+1/P_n)****

No hi ha A₀ ni α₀ perquè els valors estan agafats des de P_n+1. Per a nosaltres P₁ (68905), els Primers que hi ha entre 0 i 10⁶, correspon al 1r Tram. P₂ (541923) són els que hi ha en el segon Tram, entre 10⁶ i 10⁷. Sabem que es coneix el nombre de Primers fins 10²²*, per tant coneixem quants n’hi ha, per Trams, fins 10²¹ i 10²² (180340017203297174362), que seria el nostre P₁₇. La columna M de l’excel els conté a tots (per bé que el nombre són aquests**).

A està definida com segueix. A_n = Ln P_n+1/P_n + LnP_n+1/LnP_n. I α_n = Lnᴫ/LnA_n. Si anomenem (seguint la terminologia que proposes) valors de recurrència els de la columna F de l’excel, l’equació general, tenint en compte els desplaçaments que es produeixen en l’ordre seria, VR_n = [(A_n+3 – A_n+2) + (α_n+3 – α_n+2)] – [(A_n+2 – A_n+1) + (α_n+2 – α_n+1)]***.

El Valor ‘deduït’ de VR₁₄ (0.0000213638), que ens obriria les portes d’A₁₇ i α₁₇, ajudant-nos de l’equació A₁₇ ^α17 = ᴫ no pot estar en contradicció amb el fet que en qualsevol cas A_n^αn = ᴫ és una constant.

Les equacions a tenir en compte són, per al Tram 18 (10²²_10²³), i per tant per conèixer l’aproximació a P₁₈,

VR₁₄ = [(A₁₇ – A₁₆) + (α₁₇ – α₁₆)] – [(A₁₆ – A₁₅) + (α₁₆– α₁₅)] i A₁₇ ^α17 = ᴫ (en negreta les incògnites, A₁₇ i α₁₇).

* Amb la tecnologia i els algoritmes de què ara disposem (i no són previsibles millores significatives), solament podem comptar primers fins prop de x = 10²². Andrew Granville y Greg Martin, “Carreras de números primos”. La Gaceta de la RSME, VOL. 8.1 (2005), PÀGS. 197-240.

**(0_10⁶) 68905 P₁, (10⁶_10⁷) 541923 P₂, (10⁷_10⁸) 5141033 P₃, (10⁸_10⁹) 45086079 P₄, (10⁹_10¹⁰) 404204977 P5, (10¹⁰_10¹¹) 3663002302 P6, (10¹¹_10¹²) 33489857205 P7, (10¹²_10¹³) 308457624821 P8, (10¹³_10¹⁴) 2858876213963 P9, (10¹⁴_10¹⁵) 26639628671867 P10, (10¹⁵_10¹⁶) 249393770611256 P11, (10¹⁶_10¹⁷) 2344318816620308 P12, (10¹⁷_10¹⁸) 22116397130086627 P13, (10¹⁸_10¹⁹) 209317712988603747 P14, (10¹⁹_10²⁰) 1986761935284574233 P15, (10²⁰_10²¹) 18906449883457813088 P16, (10²¹_10²²) 180340017203297174362 P17…

***VR₁ = 0,0879442930, A₄ = 3,3178003662, α₄ = 0,9544967521, A₃ = 3,3118326240, α₃ = 0,9559317426. Per exemple.

****Valors que es derivarien. Equacions comprovades fins P₁₇, Tram 10²¹_10²².