Ona XXIV

Un problema de teoria de números és etern com una obra d’art

David Hilbert

The Elements of Theory of Algebraic Numbers. Legh Wilber Reid

1

Tinc tres cases, i ja comença a ser un problema saber on sóc quan, amb dits de rosa l’aurora, em desperte i no sé si la compra que haig de fer, ni el camí que m’hi menarà, forma part d’una geografia o una altra, Euclides present, i és aleshores que recorde que els plecs de què està fet l’espai em forneixen de viaranys, suficients i necessaris, per poder traçar una imatge mental tan poderosa que em facilita l’estar, posem per cas, a Consell i fer les comandes a Agres, ésser a València i passejar amb Ona per les vinyes de Consell, trobar-me de cop i volta a Agres i visitar la biblioteca de Consell, saludar el forner de València i endur-me a casa el pa acabat de comprar a la tahona d’Agres, un desgavell que únicament puc entendre si em situe en el context de la Teoria dels Números, perquè, un químic pot imaginar altres mons combinant de forma diversa els elements de la Taula Periòdica, però els números, ai, els números, semblen estructures que poden estar mudes, fins i tot sonar atonalment, però normalment són la via que ens duu a la certesa, a la pau i tranquil·litat de saber què hi ha després, tant se val que m’aixeque en un lloc o un altre, els números em guien de retorn a casa, siga quina siga on em desvetlle, aqueixa corrua interminable no es pot modificar, és la que és, i sempre ho serà, fins que, miracle!, algú te’n troba alguna de sèrie, d’equació, de conjectura, d’hipòtesi que aboca als caps pensants de la matemàtica a cercar i cercar per paisatges que comencen a trontollar, a inclinar-se, a fer sonar una harmonia desconeguda, i és quan comprenem que, lluny de certeses, també els números, ens poden llançar a ignots racons de l’univers on l’ordre es posa en qüestió, en suspens, aleshores el fet de moure’m entre tres cases, i no entre un milió, posem per cas, m’aporta estabilitat, certeses, i això em permet de seguir transitant pels paratges insondables del números, i anar una mica més enllà en el còmput, un de qualsevol, pot ser perfectament vàlid ocupar-se de les despeses de casa i saber, per exemple, quanta llum vaig pagar l’any 1994 entre totes les cases que vaig habitar aquell any, o quantes despeses extraordinàries em va causar aquell maleït 2003 en què a hisenda se li va acudir de recordar-me que aquella casa ja no era el meu cau habitual i que, per tant, no podia aplicar-me el descompte per aportació hipotecària, i així, com en el cas de mon pare, de qualsevol curulla que en aquell moment passe d’esquitllentes pel meu cervell, que tot d’una l’atrapa i s’hi posa.

2

Un dia se’ns va acudir de contar múltiples de 9 i vàrem observar, cosa que molta gent ja sabrà, que els múltiples de 9 poden, en última instància reduir-se al número 9, si sumem consecutivament els dígits resultants, i passem al següent nivell, per exemple, els dígits del número 8100000000000000000648, que és múltiple de 9, sumen 8+1+6+4+8 = 27, i, consecutivament, 2+7 = 9, però això era contar-ne massa, i decidírem de centrar-nos en aquells que, de primera instància (són les sales de justícia més exposades perquè poden rebre clatellades de pertot), els seus dígits sumaven 9, 18, 27, 36, 54, 63, 72, 81…però seguien sent-ne massa, infinits, de fet, per bé que en tot cas els agruparíem en conjunts de 1100 elements que anomenaríem M, de manera que M¹ contindria els números 9_9900, M² 9909_19800…M¹⁰  89109_99000…M¹⁰⁰ 980109_990000…M^10101013 100000018809_100000028700, M^10101014 100000028709_100000038600…M^10101023 100000117809_100000127700…i sempre ordenats en matrius de 110 columnes i 10 files, al seu torn ordenades les columnes en 11 subcolumnes cadascuna, de manera que obteníem unes imatges curioses,

M1 [9_9900]

9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 _ / 9 9 9 9 9 9 9 9 9 _ _ / 9 9 9 9 9 9 9 9 _ _ _ / 9 9 9 9 9 9 9 _ _ _ _ / 9 9 9 9 9 9 _ _ _ _ _ / 9 9 9 9 9 _ _ _ _ _ _ / 9 9 9 9 _ _ _ _ _ _ _ / 9 9 9 _ _ _ _ _ _ _ _ / 9 9 _ _ _ _ _ _ _ _ _ / 9 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _/110

_ 9 9 9 9 9 9 9 9 9 _ / _ 9 9 9 9 9 9 9 9 _ _ / _ 9 9 9 9 9 9 9 _ _ _ / _ 9 9 9 9 9 9 _ _ _ _ / _ 9 9 9 9 9 _ _ _ _ _ / _ 9 9 9 9 _ _ _ _ _ _ / _ 9 9 9 _ _ _ _ _ _ _ / _ 9 9 _ _ _ _ _ _ _ _ / _ 9 _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _/220

_ _ 9 9 9 9 9 9 9 9 _ / _ _ 9 9 9 9 9 9 9 _ _ / _ _ 9 9 9 9 9 9 _ _ _ / _ _ 9 9 9 9 9 _ _ _ _ / _ _ 9 9 9 9 _ _ _ _ _ / _ _ 9 9 9 _ _ _ _ _ _ / _ _ 9 9 _ _ _ _ _ _ _ / _ _ 9 _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _/330

_ _ _ 9 9 9 9 9 9 9 _ / _ _ _ 9 9 9 9 9 9 _ _ / _ _ _ 9 9 9 9 9 _ _ _ / _ _ _ 9 9 9 9 _ _ _ _ / _ _ _ 9 9 9 _ _ _ _ _ / _ _ _ 9 9 _ _ _ _ _ _ / _ _ _ 9 _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _/440

_ _ _ _ 9 9 9 9 9 9 _ / _ _ _ _ 9 9 9 9 9 _ _ / _ _ _ _ 9 9 9 9 _ _ _ / _ _ _ _ 9 9 9 _ _ _ _ / _ _ _ _ 9 9 _ _ _ _ _ / _ _ _ _ 9 _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _/550

_ _ _ _ _ 9 9 9 9 9 _ / _ _ _ _ _ 9 9 9 9 _ _ / _ _ _ _ _ 9 9 9 _ _ _ / _ _ _ _ _ 9 9 _ _ _ _ / _ _ _ _ _ 9 _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _/660

_ _ _ _ _ _ 9 9 9 9 _ / _ _ _ _ _ _ 9 9 9 _ _ / _ _ _ _ _ _ 9 9 _ _ _ / _ _ _ _ _ _ 9 _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _/770

_ _ _ _ _ _ _ 9 9 9 _ / _ _ _ _ _ _ _ 9 9 _ _ / _ _ _ _ _ _ _ 9 _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _/880

_ _ _ _ _ _ _ _ 9 9 _ / _ _ _ _ _ _ _ _ 9 _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _/990

_ _ _ _ _ _ _ _ _ 9 _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _/1100

M2 [9909_19800]

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / 9 9 9 9 9 9 9 9 9 _ _ / 9 9 9 9 9 9 9 9 _ _ _ / 9 9 9 9 9 9 9 _ _ _ _ / 9 9 9 9 9 9 _ _ _ _ _ / 9 9 9 9 9 _ _ _ _ _ _ / 9 9 9 9 _ _ _ _ _ _ _ / 9 9 9 _ _ _ _ _ _ _ _ / 9 9 _ _ _ _ _ _ _ _ _ / 9 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _/1210

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ 9 9 9 9 9 9 9 9 _ _ / _ 9 9 9 9 9 9 9 _ _ _ / _ 9 9 9 9 9 9 _ _ _ _ / _ 9 9 9 9 9 _ _ _ _ _ / _ 9 9 9 9 _ _ _ _ _ _ / _ 9 9 9 _ _ _ _ _ _ _ / _ 9 9 _ _ _ _ _ _ _ _ / _ 9 _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _/1320

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ 9 9 9 9 9 9 9 _ _ / _ _ 9 9 9 9 9 9 _ _ _ / _ _ 9 9 9 9 9 _ _ _ _ / _ _ 9 9 9 9 _ _ _ _ _ / _ _ 9 9 9 _ _ _ _ _ _ / _ _ 9 9 _ _ _ _ _ _ _ / _ _ 9 _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _/1430

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ 9 9 9 9 9 9 _ _ / _ _ _ 9 9 9 9 9 _ _ _ / _ _ _ 9 9 9 9 _ _ _ _ / _ _ _ 9 9 9 _ _ _ _ _ / _ _ _ 9 9 _ _ _ _ _ _ / _ _ _ 9 _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _/1540

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ 9 9 9 9 9 _ _ / _ _ _ _ 9 9 9 9 _ _ _ / _ _ _ _ 9 9 9 _ _ _ _ / _ _ _ _ 9 9 _ _ _ _ _ / _ _ _ _ 9 _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _/1650

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ 9 9 9 9 _ _ / _ _ _ _ _ 9 9 9 _ _ _ / _ _ _ _ _ 9 9 _ _ _ _ / _ _ _ _ _ 9 _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _/1760

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ 9 9 9 _ _ / _ _ _ _ _ _ 9 9 _ _ _ / _ _ _ _ _ _ 9 _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _/1870

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ 9 9 _ _ / _ _ _ _ _ _ _ 9 _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _/1980

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ 9 _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _/2090

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _/2200

___

M11 [99009_108900]

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ /_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ /11110

_ 9 9 9 9 9 9 9 9 9 _ / _ 9 9 9 9 9 9 9 9 _ _ / _ 9 9 9 9 9 9 9 _ _ _ / _ 9 9 9 9 9 9 _ _ _ _ / _ 9 9 9 9 9 _ _ _ _ _ / _ 9 9 9 9 _ _ _ _ _ _ / _ 9 9 9 _ _ _ _ _ _ _ / _ 9 9 _ _ _ _ _ _ _ _ / _ 9 _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _/11220

_ _ 9 9 9 9 9 9 9 9 _ / _ _ 9 9 9 9 9 9 9 _ _ / _ _ 9 9 9 9 9 9 _ _ _ / _ _ 9 9 9 9 9 _ _ _ _ / _ _ 9 9 9 9 _ _ _ _ _ / _ _ 9 9 9 _ _ _ _ _ _ / _ _ 9 9 _ _ _ _ _ _ _ / _ _ 9 _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _/11330

_ _ _ 9 9 9 9 9 9 9 _ / _ _ _ 9 9 9 9 9 9 _ _ / _ _ _ 9 9 9 9 9 _ _ _ / _ _ _ 9 9 9 9 _ _ _ _ / _ _ _ 9 9 9 _ _ _ _ _ / _ _ _ 9 9 _ _ _ _ _ _ / _ _ _ 9 _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ /_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ /11440

_ _ _ _ 9 9 9 9 9 9 _ / _ _ _ _ 9 9 9 9 9 _ _ / _ _ _ _ 9 9 9 9 _ _ _ / _ _ _ _ 9 9 9 _ _ _ _ / _ _ _ _ 9 9 _ _ _ _ _ / _ _ _ _ 9 _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _/11550

_ _ _ _ _ 9 9 9 9 9 _ / _ _ _ _ _ 9 9 9 9 _ _ / _ _ _ _ _ 9 9 9 _ _ _ / _ _ _ _ _ 9 9 _ _ _ _ / _ _ _ _ _ 9 _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _/11660

_ _ _ _ _ _ 9 9 9 9 _ / _ _ _ _ _ _ 9 9 9 _ _ / _ _ _ _ _ _ 9 9 _ _ _ / _ _ _ _ _ _ 9 _ _ _ _ /_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ /11770

_ _ _ _ _ _ _ 9 9 9 _ / _ _ _ _ _ _ _ 9 9 _ _ / _ _ _ _ _ _ _ 9 _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ /_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ /11880

_ _ _ _ _ _ _ _ 9 9 _ /_ _ _ _ _ _ _ _ 9 _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _/ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ /11990

_ _ _ _ _ _ _ _ _ 9 _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ /_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ /12100

M12 [108909_118800]

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ /_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ /12210

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _  / _ 9 9 9 9 9 9 9 9 _ _ / _ 9 9 9 9 9 9 9 _ _ _ / _ 9 9 9 9 9 9 _ _ _ _ / _ 9 9 9 9 9 _ _ _ _ _ / _ 9 9 9 9 _ _ _ _ _ _ / _ 9 9 9 _ _ _ _ _ _ _ / _ 9 9 _ _ _ _ _ _ _ _ /_ 9 _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ /12320

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ 9 9 9 9 9 9 9 _ _ / _ _ 9 9 9 9 9 9 _ _ _ / _ _ 9 9 9 9 9 _ _ _ _ / _ _ 9 9 9 9 _ _ _ _ _ / _ _ 9 9 9 _ _ _ _ _ _ / _ _ 9 9 _ _ _ _ _ _ _ / _ _ 9 _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _/12430

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ 9 9 9 9 9 9 _ _ / _ _ _ 9 9 9 9 9 _ _ _ / _ _ _ 9 9 9 9 _ _ _ _ / _ _ _ 9 9 9 _ _ _ _ _ / _ _ _ 9 9 _ _ _ _ _ _ / _ _ _ 9 _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ /_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ /12540

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ 9 9 9 9 9 _ _ / _ _ _ _ 9 9 9 9 _ _ _ / _ _ _ _ 9 9 9 _ _ _ _ / _ _ _ _ 9 9 _ _ _ _ _ / _ _ _ _ 9 _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _/12650

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ 9 9 9 9 _ _ / _ _ _ _ _ 9 9 9 _ _ _ / _ _ _ _ _ 9 9 _ _ _ _ / _ _ _ _ _ 9 _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _/12760

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ 9 9 9 _ _ / _ _ _ _ _ _ 9 9 _ _ _ / _ _ _ _ _ _ 9 _ _ _ _ /_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _  / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ /12870

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ 9 9 _ _ / _ _ _ _ _ _ _ 9 _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ /_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ /12980

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ /_ _ _ _ _ _ _ _ 9 _ _  / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _/ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ /13090

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _  / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ /_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ /13200

___

condensades en ‘matrius’ de 10·10, on hem assenyalat en vermell els únics números que ens interessen, múltiples de 9, sí, la suma dels dígits (en primera instància) dels quals sumen 9, també, amb la particularitat (que únicament tenen els marcats en vermell) que el número següent i l’anterior a aquests són allò que es coneix com a nombres bessons primers, i a aquests números, que contenen les tres condicions suara esmentades, els hem anomenat Àvalons:

M¹ (9_9900) 18 72 108 180 270 432 810 1062 1152 1620 2142 2340 4050 4230 5022 6300 8010 9000 M² (9909_19800) 10008 10530 10710 11070 11160 11700 12042 12240 … M¹¹ (99009_108900) 100152 100800 101502 102060 104310 M¹² (108909_118800) 110322 110502 113040 … M^10101023 (100000117809_100000127700) 100000120500 …

 i són infinits, però es poden contar segons aquesta expressió, que hem deduït per la progressió de la seua aparició, entre 1 i N, el nombre d’àvalons seria, aproximadament, 10^N/e^N·L_N10^N, una deducció que, segur, a mon pare li hagués agradat moltíssim.